Question

16．如图，已知AD是⊙O的弦，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，DE是⊙O的切线且与弦AB的延长线相交于点E，若AC=3，AE=8，则AD的长为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如图，连接BD、BC，构建相似三角形△AED∽△ADC，由该相似三角形的对应边成比例来求AD的长度．

解答 解：如图，连接BD、BC．
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，即∠DAE=∠CAD  
∵DE为圆O切线，
∴∠EDB=∠BCD，∠BDA=∠BCA，
∴∠EDB+∠BDA=∠BCD+∠BCA，即∠EDA=∠DCA，
∴△AED∽△ADC，
∴AE：AD=AD：AC，
∴AD²=AC•AE，
∵AC=3，AE=8，
∴AD²=24，
∴AD=2$\sqrt{6}$．
故答案是：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦的关系，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．