Question

1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF，联结CE，CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，AF=2，CD=2$\sqrt{3}$，求△CEF的CE边长的高．

Answer 1

分析 （1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可．
（2）先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．

解答 （1）证明：连接AC，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
在RT△ACD和RT△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠CAF=∠CAE，
在△CAF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠CAF=∠CAE}\\{CA=CA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△CAE，
∴CE=CF．
（2）设AC与EF交于点O，作FH⊥EC于H，
∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，
在RT△ACD中，∵∠D=90°，CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2CD=4$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}$CD=6
∵AF=AE，∠FAE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，DF=4，FC=EC=$\sqrt{D{F}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AO=$\sqrt{3}$，
∴CO=3$\sqrt{3}$，
∵S_△EFC=$\frac{1}{2}$•EF•C0=$\frac{1}{2}$×2×3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵S_△EFC=$\frac{1}{2}$•EC•FH，
∴3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{7}$×FH，
∴FH=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．