Question

7．如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出B′C的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．

解答 解：连接B′C，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∵AB=AB′=2，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴B′C=2$\sqrt{2}$-2，
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=2$\sqrt{2}$-2，
在直角三角形OB′C中，OC=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
∴OD=2-OC=2$\sqrt{2}$-2，
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=4+2$\sqrt{2}$-2+2$\sqrt{2}$-2=4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键，注意旋转中的对应关系．