Question

12．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、CP，若BP=$\sqrt{3}$，CP=$\sqrt{30}$，∠BPA=135°，则正方形ABCD的边长为$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转90°到△BCQ的位置，连接PQ；先求出PQ的长，再求出∠PQC=90°，利用勾股定理求出QC的长，最后利用勾股定理求出BC的长．

解答 解：如图，将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转90°，
到△BCQ的位置，连接PQ；
则BQ=BP=$\sqrt{3}$，∠BQC=∠BPA=135°，
则△PBQ是等腰直角三角形，
即PQ=$\sqrt{6}$，
故∠BQP=∠BPQ=45°，∠PQC=135°-45°=90°；
由勾股定理得：QC=$\sqrt{P{C}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{30}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
在△BQC中，∠BQC=135°，BQ=$\sqrt{3}$，CQ=2$\sqrt{6}$，
过B作BH垂直CQ，交CQ的延长线于H；则CH=CQ+QH，BH=HQ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：BC=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
故答案为$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．