Question

2．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴、y轴于A、B两点，点C与点A关于y轴对称，点D是线段AB上一个动点，ED=EC，且sin∠EDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求证：△DEC∽△ABC；
（2）求证：BE∥AC；
（3）若D在直线AB上运动时，是否存在这样的点D使△DEC的面积最小？如果存在请求出D点的坐标和△DEC面积的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线的解析式求出A、B的坐标，由勾股定理求出AB，得出sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出∠EDC=∠BAC，由轴对称的性质得出BA=BC，C（4，0），证出∠ECD=∠BCA，即可得出△DEC∽△ABC；
（2）证出∠DEC=∠DBC，得出B、E、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠EDC=∠EBC，证出∠EBC=∠BCA，即可得出结论；
（3）由题意得出当点D与点B重合时，△DEC的面积最小，点D坐标为：（0，2），作CF⊥BE于F，设ED=EC=x，则EF=4-x，根据勾股定理得出方程，解方程求出ED，即可得出△DEC面积的最小值．

解答 （1）证明：∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴、y轴于A、B两点，
当y=0时，x=-4，；
当x=0时，y=2；
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠BAC=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠EDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴∠EDC=∠BAC，∵
点C与点A关于y轴对称，
∴BA=BC，C（4，0），
∴∠BAC=∠BCA，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ECD=∠BCA，
∴△DEC∽△ABC；
（2）证明：∵△DEC∽△ABC，
∴∠DEC=∠DBC，
∴B、E、C、D四点共圆，如图1所示：
∴∠EDC=∠EBC，
∴∠EBC=∠BCA，
∴BE∥AC；
（3）存在；△DEC面积的最小值为$\frac{5}{2}$；理由如下：
解：∵BE∥AC，
当点D与点B重合时，△DEC的面积最小，此时点D坐标为：（0，2），
如图2所示：作CF⊥BE于F，
则∠CFE=90°，CF=2，BF=4，
设ED=EC=x，
则EF=4-x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CF²+EF²=EC²，
即2²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴ED=$\frac{5}{2}$，
∴△DEC的面积=$\frac{1}{2}$ED•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数图象与坐标轴交点、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、四点共圆、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明四点共圆和运用勾股定理列出方程才能求解．