Question

4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C）重合．△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连结BE．
（1）当点D在线段BC上时，如图1所示，请直接写出与△ABE全等的三角形是△ADC．
（2）当点D在BC的延长线上时，如图2所示，四边形BEGC能否成为平行四边形？如果能，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当线段CD与线段BD满足怎样的数量关系时，四边形BEGC是菱形？

Answer 1

分析 （1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AEB≌△ADC；
（2）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形；
（3）当CD=$\frac{1}{2}DB$时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再证明BE=CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
（2）成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；
（3）当CD=$\frac{1}{2}$DB时，四边形BCGE是菱形．
理由：同（1），△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB，
∴CD=CB，即CD=$\frac{1}{2}DB$时，四边形BCGE是菱形．
故答案为：△ADC

点评 本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．