Question

19．如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，点P₁、P₂、P₃…P_n都在函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃…A_n-1A_n都在x轴上．则点P₁₂的坐标是（4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{11}$，4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{11}$）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质，知P₁的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式求得该点的纵坐标；根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标，再进一步求得其纵坐标，发现其的规律，从而求得点P₁₂的坐标．

解答 解：由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，
则有y₁²=4，故y₁=±2（负舍），则y₁=2．
由题意知y₂=x₂-x₁-y₁，y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又∵y_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$，则：x₂-4=$\frac{4}{{x}_{2}}$，解得x₂=2$\sqrt{2}$+2．
∴y₂=2$\sqrt{2}$-2，
同理，依次得 x₃=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$，y₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
x₄=2$\sqrt{4}$+2$\sqrt{3}$，y₄=2$\sqrt{4}$-2$\sqrt{3}$，
x₅=2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{4}$，y₅=2$\sqrt{5}$-2$\sqrt{4}$，
…
x_n=2$\sqrt{n}$+2$\sqrt{n-1}$，y_n=2$\sqrt{n}$-2$\sqrt{n-1}$，
∴x₁₂=2$\sqrt{12}$+2$\sqrt{11}$，y₁₂=2$\sqrt{12}$-2$\sqrt{11}$，
∴P（4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{11}$，4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{11}$）．
故答案为（4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{11}$，4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{11}$）．

点评 此题主要是综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标．解答本题时同学们要找出其中的规律．