题目内容

7．若（a2+1）2-2（a2+1）-3=0，则a2等于2．

分析 设a2+1=t（t＞0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程得到t的值；然后再来求a2的值．

解答 解：设a2+1=t（t＞0），则原方程转化为t2-2t-3=0，
整理，得
（t-3）（t+1）=0，
解得t=3或t=-1（舍去），
则a2+1=3，
所以a2=2．
故答案是：2．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

练习册系列答案
相关题目
17．如果ax＜a的解是x＞1，那么a必须满足（　　）
A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1
18．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{2-2\sqrt{2×3}+3}$①
=$\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}-2\sqrt{2}×\sqrt{3}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}$②
=$\sqrt{{{（{\sqrt{2}-\sqrt{3}}）}^2}}$③
=$\sqrt{2}-\sqrt{3}$④
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$．
15．解为x=-3的方程是（　　）
A．3x-2=-7B．3x+2=-11C．2x+6=0D．x-3=0
2．将实数1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，按如图所示方式排列，若用（m，n），表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（11，7）表示两数之积是$\frac{1}{4}$．
12．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE=3，CE=2，且∠OBC=45°，求四边形ABDC的面积．
19．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=54}\\{x+3y=36}\end{array}\right.$，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表$（\begin{array}{l}{4}&{3}&{54}\\{1}&{3}&{36}\end{array}）$，求得的一次方程组的解$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$，用数表可表示为 $（\begin{array}{l}{1}&{0}&{a}\\{0}&{1}&{b}\end{array}）$．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：

从而得到该方程组的解为x=6，y=10．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=6}\\{x+y=2}\end{array}\right.$的过程．
16．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-xyz=2}\\{{y}^{3}-xyz=6}\\{{z}^{3}-xyz=20}\end{array}\right.$．
17．数学问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 
探究一：计算探究一：计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$ 
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； 
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$最后空白部分的面积是 $\frac{1}{{2}^{n}}$．
探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

探究三：计算$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为$\frac{3}{4}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{4}^{n}}$
根据第n次分割图可得等式：$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
两边同除以3，得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$

探究四：计算$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$=1-$\frac{1}{{m}^{n}}$，
所以，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．
拓广应用：计算$\frac{6-1}{6}$+$\frac{{6}^{2}-1}{{6}^{2}}$+$\frac{{6}^{3}-1}{{6}^{3}}$+…$\frac{{6}^{n}-1}{{6}^{n}}$．

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