数学问题:计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+-+$\frac{1}{{m}^{n}}$(其中m.n都是正整数.且m≥2.n≥1)探究问题:为解决上面的数学问题.我们运用数形结合的思想方法.通过不断地分割一个面积为1的正方形.把数量关系和几何图形巧妙地结合起来.并采取一般问题特殊化� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．数学问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算探究一：计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$最后空白部分的面积是 $\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

探究三：计算$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为$\frac{3}{4}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{4}^{n}}$
根据第n次分割图可得等式：$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
两边同除以3，得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$

探究四：计算$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$=1-$\frac{1}{{m}^{n}}$，
所以，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．
拓广应用：计算$\frac{6-1}{6}$+$\frac{{6}^{2}-1}{{6}^{2}}$+$\frac{{6}^{3}-1}{{6}^{3}}$+…$\frac{{6}^{n}-1}{{6}^{n}}$．

分析探究四：把正方形的面积五等分，阴影部分的面积依次求出和即可；
解决问题：把正方形的面积m等分，阴影部分的面积依次求出和即可；
拓广应用：先将所求式子进行变形，化成1-$\frac{1}{6}$+1-$\frac{1}{{6}^{2}}$+1-$\frac{1}{{6}^{3}}$+…+1-$\frac{1}{{6}^{n}}$，根据上面的推理得：$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{{6}^{n}}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5×{6}^{n}}$，代入即可．

解答解：探究四：计算$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$，
第1次分割，把正方形的面积五等分，其中阴影部分的面积为$\frac{4}{5}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续五等分，阴影部分的面积之和为$\frac{4}{5}+\frac{4}{{5}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续五等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后五等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{4}{5}+\frac{4}{{5}^{2}}+\frac{4}{{5}^{3}}+…+\frac{4}{{5}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{5}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{4}{5}+\frac{4}{{5}^{2}}+\frac{4}{{5}^{3}}+…+\frac{4}{{5}^{n}}$=1-$\frac{1}{{5}^{n}}$，
两边同除以4，得$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4×{5}^{n}}$．

解决问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积m等分，其中阴影部分的面积为$\frac{m-1}{m}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续m等分，阴影部分的面积之和为$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续m等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后m等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{m}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$=1-$\frac{1}{{m}^{n}}$．
两边同除以m-1，得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．

故答案为：$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$=1-$\frac{1}{{m}^{n}}$，$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．
拓广应用：同理可得：$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{{6}^{n}}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5×{6}^{n}}$，
计算$\frac{6-1}{6}$+$\frac{{6}^{2}-1}{{6}^{2}}$+$\frac{{6}^{3}-1}{{6}^{3}}$+…$\frac{{6}^{n}-1}{{6}^{n}}$，
=1-$\frac{1}{6}$+1-$\frac{1}{{6}^{2}}$+1-$\frac{1}{{6}^{3}}$+…+1-$\frac{1}{{6}^{n}}$，
=n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{{6}^{n}}$），
=n-（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5×{6}^{n}}$），
=n-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5×{6}^{n}}$．