Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE=3，CE=2，且∠OBC=45°，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析 过点O作OM⊥BC于M，由垂径定理得出BM=CM=2.5，由∠OBC=45°，得出OM=BM=2.5，由勾股定理求出OB，作ON⊥AD于N，连接OA，由垂径定理得出AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，ON=EM=0.5，由勾股定理求出AN名即可得出AD，再由AD⊥BC得出四边ABDC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出结果．

解答 解：过点O作OM⊥BC于M，如图所示：
则BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，
∵BE=3，CE=2，
∴BC=5，
∴BM=CM=2.5，
∵∠OBC=45°，
∴OM=BM=2.5，
∴OB=$\sqrt{O{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵BE=3，BM=2.5，
∴EM=3-2.5=0.5，
作ON⊥AD于N，连接OA，
则AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，ON=EM=0.5，
∵OA=OB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴AN=$\sqrt{O{A}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴AD=2AN=7，
∵AD⊥BC，
∴四边ABDC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×7=$\frac{35}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理的综合运用．由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的突破口，注意准确作出辅助线是解此题的关键．