Question

14．如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在△ABC中AB=AC，∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是30°；
（2）如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
（3）如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”求出AD长度的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠A=∠PAB即可解决问题．
（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，只要证明DP=DA，即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA=DP时．②如图4中，当PA=PD时．③如图5中，当AP=AD时．分别求解即可解决问题．

解答 解：（1）如图2中，

∵AB=AC，DA=DP，
∴∠B=∠C，∠DAP=∠DPA，
∵∠PAC=∠BPD，
∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠B=∠PAB=50°，
∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠PAC=30°
故答案为30°．

（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，

∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠PAD=∠C，
∴DP=DA，
∴△APD是等腰三角形且与△APB与△CDP相似．

（3）如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，

①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1，
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，设AD=a，则AP=$\sqrt{3}$a，
∵△BPD∽△CPA，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{PD}{PA}$，即$\frac{2-a}{2}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}$a，解得a=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，

∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=2-a，BP=2$\sqrt{2}$-（2-a），AC=2，
2$\sqrt{2}$-（2-a）=2，
解得a=4-2$\sqrt{2}$，
如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，

∴∠PDB=∠CAP=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为1或$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$或4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．