Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx经过点A（-3，4），直线l与x轴相交于点B，与∠AOB的平分线相交于点C，直线l的解析式为y=kx-5k（k≠0），BC=OB．
（1）若点C在此抛物线上，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，过点A作y轴的平行线，与直线l相交于点D，设P为抛物线上的一个动点，连接PA、PD，当S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图，先求出B点坐标，则可得到OA=OB=5，再证明AO∥CB，加上OB=BC=5，则可判断四边形AOBC为平行四边形，所以AC∥OB，AC=OB=5，于是得到C（2，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如图，先确定直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，再确定D点坐标，则可求出AD的长，设P（t，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t），利用三角形面积公式和S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB得到$\frac{1}{2}$•$\frac{20}{3}$•|t+3|=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$•5•4，然后解绝对值方程求出t的值，从而可确定点P的坐标．

解答 解：（1）如图，A（-3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
当y=0时，kx-5k=0，解得x=5，则B（5，0），
∵BC=BO=5，
∴∠BOC=∠BCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠BCO，
∴AO∥CB，
而OA=BC=5，
∴四边形AOBC为平行四边形，
∴AC∥OB，AC=OB=5，
∴C（2，4），
把A（-3，4），C（2，4）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b=4}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x；
（2）如图，把C（2，4）代入y=kx-5k得2k-5k=4，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
当x=-2时，y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，则D（-3，$\frac{32}{3}$），
∴AD=$\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$，
设P（t，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t），
∵S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{20}{3}$•|t+3|=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$•5•4，解得t=-1或t=-5，
∴点P的坐标为（-1，0）或（-5，$\frac{40}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定与性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．解决本题的关键是画出几何图形和证明四边形AOBC为菱形．