Question

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形，则阴影部分的面积为10$\sqrt{3}$-4π．

Answer 1

分析 设扇形与BC相切于点E，连接AE，首先证明四边形CDAE是矩形，在RT△AEB中求出AE以及∠EAB，求出圆心角∠DAB，根据S_阴=S_梯形ABCD-${S}_{扇形}\\;\$即可解决问题．

解答 解：如图设扇形与BC相切于点E，连接AE，则AE⊥BC．

∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠D=∠C=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD=CE=4，
∵BC=6，
∴BE=2，
在RT△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=4，EB=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，AB=2EB，
∴∠EAB=30°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAB=120°，
∴S_阴=S_梯形ABCD-${S}_{扇形}\\;\$=$\frac{1}{2}$（4+6）$•2\sqrt{3}$-$\frac{120π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=10$\sqrt{3}$-4π．
故答案为10$\sqrt{3}$-4π

点评 本题考查扇形的面积的计算、梯形面积的计算等知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形以及直角三角形，记住扇形面积公式S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$LR（n是圆心角，R是半径，L是弧长），属于中考常考题型．