Question

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发1秒后，点Q从点C出发，并以1cm/s速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求DC的长；
（2）当t取何值时，PQ∥CD？
（3）是否存在t，使△PQC为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）过D点作DF⊥BC于F，得出四边形ABFD是矩形，那么DF=AB=8，BF=AD=12，CF=BC-BF=6，然后在直角△CDF中利用勾股定理即可求出DC；
（2）由于AD∥BC，所以当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出PD=QC，依此列出关于t的方程，求解即可；
（3）因为∠C＜90°，所以△PQC为直角三角形时，分两种情况：①∠PQC=90°；②∠CPQ=90°；分别求解即可．

解答 解：（1）过D点作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=8，BF=AD=12，
∴CF=BC-BF=18-12=6，
∴DC=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm）；

（2）当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，此时PD=QC，
∴12-2t=t-1，
∴t=4$\frac{1}{3}$．
∴当t=4$\frac{1}{3}$时，四边形PQDC是平行四边形；

（3）△PQC为直角三角形时，因为∠C＜90°，分两种情况：
①当∠PQC=90°时，则AP=BQ，
即2t=18-（t-1），
解得t=6$\frac{1}{3}$，不合题意舍去；
②当∠CPQ=90°，此时P一定在DC上，
∵CP=10+12-2t=22-2t，CQ=t-1，
易知，△CDF∽△CQP，
∴$\frac{CF}{CP}$=$\frac{CD}{CQ}$，即$\frac{6}{22-2t}$=$\frac{10}{t-1}$，
解得：t=8$\frac{9}{13}$，符合题意；
综上所述，当t=8$\frac{9}{13}$秒时，△PQC是直角三角形．

点评 此题是四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．