Question

在△ABC，已知AB=12，AC=8，BC=13，∠A的角平分线与中线BE、CF分别交于M、N．设△ABC的重心为G，则

S△GMN

S△ABC

=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：过点E作DE∥AN，交BA的延长线于点D，过点C作CH∥AN，交BA的延长线于点H，连接EF、EN，利用三角形中位线定理和相似三角形的性质可以得到GE=

1

3

BE，FG=

1

3

BE，然后由AN平分∠BAC，DE∥AN可证到AD=AE，再根据平行线分线段成比例可得

BM

ME

=

BA

AD

=3，同理可得

FN

NC

=

3

4

．设ME=x，可得GE=

4

3

x，GM═

1

3

x，从而有

S△GMN

S△GEN

=

GM

GE

=

1

4

，同理可得

S△GEN

S△GEC

=

GN

GC

=

1

7

，由

EG

BE

=

1

3

，

EC

AC

=

1

2

可得

S△CEG

S△CEB

=

EG

BE

=

1

3

，

S△CEB

S△ABC

=

EC

AC

=

1

2

，即可得到

S△GMN

S△ABC

=

S△GMN

S△GEN

•

S△GEN

S△GEC

•

S△CEG

S△CEB

•

S△CEB

S△ABC

=

1

168

．

解答：解：过点E作DE∥AN，交BA的延长线于点D，过点C作CH∥AN，交BA的延长线于点H，连接EF、EN，如图．
∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴△GEF∽△GBC，
∴

GE

BG

=

FG

CG

=

EF

BC

=

1

2

，
∴GE=

1

3

BE，FG=

1

3

BE．
∵AN平分∠BAC，DE∥AN，
∴∠BAN=∠CAN，∠BAN=∠ADE，∠CAN=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
∵点E是AC的中点，AC=8，
∴AD=AE=4．
∵DE∥AN，AB=12，AD=4，
∴

BM

ME

=

BA

AD

=3．
同理可得：

FN

NC

=

FA

AH

=

FA

AC

=

6

8

=

3

4

．
设ME=x，则BM=3x，BE=4x，GE=

4

3

x，
∴GM=GE-ME=

4

3

x-x=

1

3

x，
∴

S△GMN

S△GEN

=

GM

GE

=

1 3 x

4 3 x

=

1

4

．
同理可得：

S△GEN

S△GEC

=

GN

GC

=

1

7

，
∵

EG

BE

=

1

3

，

EC

AC

=

1

2

，
∴

S△CEG

S△CEB

=

EG

BE

=

1

3

，

S△CEB

S△ABC

=

EC

AC

=

1

2

，
∴

S△GMN

S△ABC

=

S△GMN

S△GEN

•

S△GEN

S△GEC

•

S△CEG

S△CEB

•

S△CEB

S△ABC

=

1

4

×

1

7

×

1

3

×

1

2

=

1

168

．
故答案为：

1

168

．

点评：本题主要考查了等积变换、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，有一定的难度，而由AN平分∠BAC证到

BM

ME

=

AB

AE

，

FN

NC

=

AF

AC

是解决本题的关键．