题目内容
已知△ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理,三角形的内切圆与内心
专题：证明题
分析：因I是内心，故
=
=
，
=
，又因AC+BA=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明．
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BC |
| AB |
| BE |
解答：证明：∵I是内心，
∴
=
=
，
=
．
又∵AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．
∴
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BC |
| AB |
| BE |
又∵AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．
点评：本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．
练习册系列答案
相关题目
若a，b是两个正数，且
+
+1=0，则（ ）
| a-1 |
| b |
| b-1 |
| a |
A、0＜a+b≤
| ||
B、
| ||
C、1＜a+b≤
| ||
D、
|
如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是BC边上的两点，且∠ABC=