Question

如图：∠ACB=60°，CE平分∠ACB，O为射线CE上的一点，⊙O切AC于点D
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得∠DPC=90°，求DP的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）过O作OM⊥BC，交BC于点M，由条件证明△DCO≌△MCO，可得OM=OD，可得BC为切线；
（2）在△COD中，可求得CD，取CD的中点为N，连接PN，ON，交DP于点Q，结合条件可证得NP为切线，则可知Q为DP中点，在Rt△NOD中可求得NO，再利用面积相等可求得DQ，从而可求得DP．

解答：（1）证明：如图1，过O作OM⊥BC交点M，

在△DCO和△MCO中，

∠DCO=∠MCO ∠CDO=∠CMO CO=CO

，
∴△DCO≌△MCO（AAS），
∴OM=OD，且CD为切线，
∴OD等于圆的半径，
∴O点到BC的距离等于半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，取CD的中点为N，连接PN，ON，交DP于点Q，

∵∠DPC=90°，
∴PN=ND，且OD=OP，
∴NO垂直平分DP，
在Rt△COD中，OD=6，∠DCO=60°，
∴CD=6

3

，则ND=3

3

，
在Rt△ODN中，由勾股定理可求得ON=3

7

，
由面积相等可得ND•OD=NO•DQ，
即3

3

×6=3

7

•DQ，
解得DQ=

6 21

7

，
∴DP=2DQ=

12 21

7

．

点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握作出距离证明距离等于半径也是证明切线的方法是解题的关键，在第（2）中取CD的中点，得到NO是DP的垂直平分线是解题的关键．