Question

17．已知锐角三角形ABC内接于⊙O，AD⊥BC．垂足为D．
（1）如图1，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，BD=DC，求∠B的度数．
（2）如图2，BE⊥AC，垂足为E，BE交AD于点F，过点B作BG∥AD交⊙O于点G，在AB边上取一点H，使得AH=BG；求证：△AFH是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先根据$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$可知AB=BC，再由AD⊥BC，BD=DC可知AD是线段BC的垂直平分线，故AB=AC，由此可知△ABC是等边三角形，故可得出结论；
（2）连接GC，GA，根据BG⊥BC可知GC是⊙O的直径，故∠GAC=90°，由此可判断出四边形GBFA是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC．
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°；

（2）连接GC，GA，
∵BG⊥BC，
∴GC是⊙O的直径，
∴∠GAC=90°．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠GAC=90°，
∴AG∥BE．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠GBC=90°，
∴BG∥AD，
∴四边形GBFA是平行四边形，
∴BG=AF．
∵BG=AH，
∴AH=AF，
∴△AFH是等腰三角形．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形，利用平行四边形的性质求解是解答此题的关键．