Question

2．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，C、D是$\widehat{AB}$的三等两点，OC、OD分别交AB于E、F，则AE、CD与BF相等吗？为什么？

Answer 1

分析 由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．

解答 解：CD=AE=BF．
理由：连接AC、BD，
∵C，D是$\widehat{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．