Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到△ACD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）取BC、AC的中点E、F，连结EF并延长交AD于点G，试判断四边形AECG的形状，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠BAC=∠CAD=60°，AC=AD，AB=AC，则可判断△ABC和△ADC都是等边三角形，得到AB=BC=CD=AD，于是可判断四边形ABCD是菱形；
（2）根据等边三角形的性质，由点E为BC的中点得到AE⊥BC，再证明EF∥AB，则可判断四边形ABEG为平行四边形得到AG=BE，所以AG=CE，于是可判定四边形AECG为平行四边形，再加上∠AEC=90°，则可判断四边形AEFG为矩形．

解答 （1）证明：∵△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到△ACD，
∴∠BAC=∠CAD=60°，AC=AD，AB=AC，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：四边形AEFG为矩形．理由如下：
∵点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE=CE
∵点F为AC的中点，
∴EF∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴AG=BE，
∴AG=CE，
∵AG∥EC，
∴四边形AECG为平行四边形，
∵∠AEC=90°，
∴四边形AEFG为矩形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形得判定和等边三角形的判定与性质．