Question

9．如图所示，在三角形△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B移动，点Q从B点出发沿BC以3cm/s的速度向C移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒后，△PBQ的面积等于s．
（1）求s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）求t为何值时，△PBQ的面积等于3；
（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于6cm²？说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别表示出BP、BQ，继而可得s与t之间的函数关系式，根据AB、BC的长度及点P、Q的运动速度可得t的取值范围；
（2）当s=3时，解出t的值即可，注意判断t的取值是否在取值范围内；
（3）当s=6时，解出t的值即可，注意判断t的取值是否在取值范围内．

解答 解：（1）由题意得，BP=5-t（0≤t≤5），BQ=3t（0≤t≤$\frac{7}{3}$），
则s=$\frac{1}{2}$（5-t）×3t=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{15}{2}$（0≤t≤$\frac{7}{3}$）．

（2）当s=3时，-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{15}{2}$t=3，
整理化简得：t²-5t+2=0，
解得：t₁=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$（舍去），
即当t=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$时，△PBQ的面积等于3；

（3）当s=6时，-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{15}{2}$t=6，
整理化简得：t²-5t+4=0，
解得：t₁=1，t₂=4（舍去），
即当t=1时，△PBQ的面积等于6．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及动点问题，解答本题的关键是表示出BP、BQ的长度，得出s与t的函数关系式，难度一般．