Question

11．已知矩形的对角线与一条边的夹角为60°，这条边的边长为16cm，求：
①矩形的对角线的长；
②矩形的面积．

Answer 1

分析 ①首先根据题意画出图形，然后由矩形的对角线与一条边的夹角为60°，这条边的边长为16cm，可得∠ACB=30°，继而求得矩形的对角线的长；
②首先由勾股定理求得BC的长，继而求得矩形的面积．

解答 解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠BAC=60°，AB=16cm，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=32（cm），
即矩形的对角线的长为32cm；

②在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3{2}^{2}-1{6}^{2}}$=16$\sqrt{3}$（cm），
∴S_矩形ABCD=AB•BC=16×16$\sqrt{3}$=256$\sqrt{3}$（cm²），
即矩形的面积为：256$\sqrt{3}$cm²．

点评 此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．