题目内容
17．
已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP．当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若平行于y轴的动直线l与该抛物线交于点Q，与直线BC交于点F，点M的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将A、C的坐标代入求出a、c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）根据A、B、C的坐标求出AB、BC的关系式，设P的坐标为（t，0），根据PD∥BC，可得PD的解析式为y=x-t，求出AC、DP的交点D的坐标，然后根据S△CPD=S△CPA-S△DPA，表示出△CPD的面积，求出△CPD的面积最大时，点P的坐标；
（3）存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形，理由为：在△OMF中，分三种情况考虑：①OF=MF；②MO=MF；③OM=OF，分别求出Q的坐标即可．
解答 解：（1）把A（-2，0），C（0-4）代入抛物线关系式得，
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-4}\\{9a+c=0}\end{array}\right.$
得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x-1）2-$\frac{9}{2}$；
（2）由题意求得，B（4，0），
由B（4，0），C（0，-4），求得直线BC的关系式为y=x-4，
由A（-2，0），C（0，-4），求得直线AC的关系式为y=-2x-4，
设点P为（t，0）（-2≤t≤4），
∵PD∥BC，
∴直线PD关系式为y=x-t，
∵点D是直线AC与PD的交点，求得D（$\frac{t-4}{3}$，$\frac{-2t-4}{3}$），
∴S△CPD=S△CPA-S△DPA=$\frac{1}{2}$（t+2）×4-$\frac{1}{2}$（t+2）×$\frac{2t+4}{3}$
=-$\frac{1}{3}$t2+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
=-$\frac{1}{3}$（t-1）2+3，
当t=1时，即P（1，0）时△CPD的面积最大；
（3）①若OM为底边，有FO=FM，得F（1，-3）
把x=1代入抛物线，求得y=-$\frac{9}{2}$，
∴Q坐标为（1，-$\frac{9}{2}$），
②若OM为腰，
当MO=MF=2时，得F（2，-2）
把x=2代入抛物线，求得y=-4，
∴Q坐标为（2，-4），
当OM=OF时，点O到直线BC的距离为2$\sqrt{2}$，
∴OF≥2$\sqrt{2}$，
而OM=2，
∴OM≠OF；
综上所述，Q坐标为（1，-$\frac{9}{2}$）或（2，-4）．
点评 本题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数的性质、待定系数法确定抛物线解析式、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
如图，已知一次函数y=2x-8与抛物线y=x2+bx+c都经过x轴上的A点和y轴上的B点．
在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F．| A． | 1 | B． | -1 | C． | 2015 | D． | -2015 |