Question

18．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），⊙P与y轴相切，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2$\sqrt{5}$，则a的值是2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，先根据切线的性质得PH=2，即⊙P的半径为2，再根据垂径定理，由PC⊥AB得到BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，接着在Rt△BPC中利用勾股定理可计算出PC=1，由直线y=x为第一、三象限的角平分线得到∠DOE=45°，则∠ODE=45°，DE=OE=2，然后判断△PCD为等腰直角三角形得到PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，所以PE=PD+DE=2$\sqrt{2}$+3，即a=2$\sqrt{2}$+3．

解答 解：作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，
∵⊙P与y轴相切，
∴PH=2，即⊙P的半径为2，
∵PC⊥AB，
∴BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△BPC中，PC=$\sqrt{{PB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{（\sqrt{5}）}^{2}}$=2，
∵直线y=x为第一、三象限的角平分线，
∴∠DOE=45°，
∴∠ODE=45°，DE=OE=3，
∴∠PDC=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，
∴PE=PD+DE=2$\sqrt{2}$+3．
故答案为：2$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．