Question

5．如图，AC=BC，DC=EC，且AC⊥BC，DC⊥EC．求证：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD；
（3）∠AEC=∠BDC．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由AC⊥BC，DC⊥EC，得到∠ACB=∠DCE=90°，证得∠BCD=∠ACE，得到△BCD≌△ACE，于是证得AE=BD；
（2）由（1）证得△BCD≌△ACE，得到∠DBC=∠ECA，通过等量代换得到AE⊥BD；
（3）由（1）证得△BCD≌△ACE，得到∠AEC∠=∠BDC．

解答 证明：（1）连接BD，
∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD；

（2）由（1）证得△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠ECA，
∵∠ABD+∠DBC+∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠CAD+∠BAC=90°，
∴AE⊥BD；

（3）由（1）证得△BCD≌△ACE，
∴∠AEC∠=∠BDC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，掌握定理是解题的关键．