Question

20．已知AC=BC，DC=EC，∠BCA=∠DCE，CD⊥AB，求证：∠BCE=∠BEF．

Answer 1

分析 先证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC=90°，得出∠BCE=90°-∠CBE，再证出BC⊥DE，得出∠BEF=90°-∠CBE，即可得出结论．

解答 证明：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=90°，
∵∠BCA=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE=∠BCD，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°-∠CBE，
∵DC=EC，∠BCE=∠BCD，
∴BC⊥DE（三线合一），
∴∠BFE=90°，
∴∠BEF=90°-∠CBE，
∴∠BCE=∠BEF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．