Question

12．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S_△PCD=$\frac{1}{2}$S_△BCD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）²+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x-1）²+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4；
令y=0，则0=-（x-1）²+4，
∴x=-1或x=3，
∴C（-1，0），D（3，0）；
∴CD=4，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_B|=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）由（2）知，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_B|=$\frac{1}{2}$×4×3=6；CD=4，
∵S_△PCD=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_P|=$\frac{1}{2}$×4×|y_P|=3，
∴|y_P|=$\frac{3}{2}$，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴y_P＞0，
∴y_P=$\frac{3}{2}$，
∵抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4；
∴$\frac{3}{2}$=-（x-1）²+4，
∴x=1±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴P（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），或P（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题．