如图.在平面直角坐标系中.已知A.且a.b满足$\sqrt{a+b-4}$+|a-2b+2|=0.若分别过点A和点B作y轴和x轴的垂线.交于点C．(1)求C点坐标,(2)若P从A出发.Q从B出发.且以每秒1个单位的速度同时分别沿y轴正方向和x轴负方向运动.若P.Q运动时间为t秒.问∠CQP的大小是否变化?若变化.求∠CQP的范围,若不变.求∠CQP的值,的条件下.作OD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0），且a、b满足$\sqrt{a+b-4}$+|a-2b+2|=0，若分别过点A和点B作y轴和x轴的垂线，交于点C．
（1）求C点坐标；
（2）若P从A出发，Q从B出发，且以每秒1个单位的速度同时分别沿y轴正方向和x轴负方向运动，若P、Q运动时间为t秒（0≤t≤2），问∠CQP的大小是否变化？若变化，求∠CQP的范围；若不变，求∠CQP的值；
（3）在（2）的条件下，作OD⊥PQ，QE平分∠OQP，设OD、QE交于点F，若在线段OF及OF的延长线上分别取M、N两点，使M为OF中点，且ON=2OF，则当P、Q运动过程中，有①$\frac{EN}{EM}$为定值；②EN-EM为定值，有一个结论正确，选出来并求这个定值．

分析（1）先利用非负性建立方程求出a，b进而得出点A，B坐标，利用垂直确定出点C坐标；
（2）先判断出OACB是正方形，得出AC=BC，进而判断出△BCQ≌△ACP，得出PC=QC，∠ACP=∠BCQ，即可得出三角形PCQ是等腰直角三角形，即可．
（3）利用角平分线的性质得出EG=OE，再判断出△EOQ≌△EGQ，得出∠OEQ=∠GEQ，进而判断出四边形OEGF是菱形，四边形EFNG是平行四边形，得出EH=$\frac{1}{2}$EN，FH=$\frac{1}{2}$FG，最后判断出△EFM≌△EFH即可推导出结论．

解答解：（1）∵$\sqrt{a+b-4}$+|a-2b+2|=0，
∴a+b-4=0，a-2b+2=0，
∴a=2，b=2，
∵A（0，a）、B（b，0），
∴A（0，2）、B（2，0），
∵点A和点B作y轴和x轴的垂线，交于点C，
∴C（2，2）；
（2）∠CQP的大小不发生变化，是定值45°．
理由：如图2，

连接PC，
∵点A和点B作y轴和x轴的垂线，交于点C，
∴∠OBC=∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OBC=∠OAC=∠AOB=90°，
∴四边形OACB是矩形，
由（1）知，OA=OB，
∴矩形OACB是正方形，
∴BC=AC，
由运动知，BQ=AP，
在△BCQ和△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠QBC=∠APC}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，∠BCQ=∠ACP，
∵∠ACQ+∠BCQ=90°，
∴∠PCQ=∠ACQ+∠ACP=∠ACQ+∠BCQ=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴∠PQC=45°，
∴∠CQP的大小不发生变化，是定值45°．
（3）①$\frac{EN}{EM}$为定值，为$\frac{1}{2}$；
理由：如图3，

过点E作EG⊥PQ，连接GN，GF，
∵OD⊥PQ，
∴ON∥EG，
∴∠GEF=∠OFE，
∵QE平分∠OQP，EG⊥PQ，EO⊥OQ，
∴EG=EO，
在△OQE和△GQE中，$\left\{\begin{array}{l}{EO=EG}\\{∠EOQ=∠EGQ=90°}\\{EQ=EQ}\end{array}\right.$，
∴△OQE≌△GQE，
∴∠OEF=∠GEF，
∵∠GEF=∠OFE，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∴EG=OF，
∵EG∥OD，
∴四边形OEGF是平行四边形，
∵OE=OF，
∴平行四边形OEGF是菱形，
∴OF=FG，∠OFE=∠GFE
∵ON=2OF=OF+FN，
∴EG=FN，
∵EG∥FN，
∴四边形EFNG是平行四边形，
∴EH=NH=$\frac{1}{2}$EN，FH=$\frac{1}{2}$FG，
∵M是OF中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$OF，
∴FM=FH，
在△EFM和△EFH中，$\left\{\begin{array}{l}{FM=FH}\\{∠EFM=∠EFH}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△EFM≌△EFH，
∴EM=EH，
∴EM=$\frac{1}{2}$EN，
∴①$\frac{EN}{EM}$=$\frac{1}{2}$，是定值．

点评此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形，菱形的判定和性质，角平分线的性质，解本题的根据是构造全等三角形．是一道中考常考题．

	A．	弦是直径		B．	弧是半圆
	C．	半圆是圆中最长的弧		D．	直径是圆中最长的弦

试题分类