Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AD，欲证DE是⊙O的切线，只需证明DE⊥OD即可；
（2）根据已知条件求得AD、BD'DC，利用△ABD∽△DCE对应边成比例求出CE的即可．

解答 （1）证明：连接OD与AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC且∠B=∠C，
即D为BC的中点，
∵D为AB的中点，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：∵AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{12}{13}$，即AD=12，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴DC=5，
在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，∠CED=∠ABD=90°，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{CE}{BD}$，
∴CE=$\frac{BD•DC}{AB}$=$\frac{25}{13}$．

点评 本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出CE的值．