Question

如图，△ABC中，MN∥BC，IJ∥AC，EF∥AB，若平行四边形BFPM，CNPJ的面积分别为70，30，△ABC的面积为225，则平行四边形AEPI的面积为

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：根据△IMP和平行四边形MBFP的面积得到IM：MB的值，然后用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，求出△PFJ的面积，由△PFJ和平行四边形MBFP以及平行四边形PJCN的面积得到FJ：BC的值，再求出平行四边形AEPI的面积．

解答：解：∵MN∥BC，IJ∥AC，EF∥AB，
∴△IMP∽△PFJ∽△IBJ，相似比为IM：PF：IB，面积比为IM²：PF²：IB²，
∵平行四边形BFPM，CNPJ的面积分别为70，30，
∴PM：PN=7：3，
∴S_△IPM：S_△PEN=49：9，S_△IPM：S_△AMN=49：100，
设S_△IPM=9x，S_△PEN=49x，S_△AMN=100x，
∴S_?AEPI=42x，
设S_△PFJ=x，则因，∵S_△IMP=9，S_BFPM=42，
∴IM：MB=3：7，IM：IB=3：10．
∴S_△IMP：S_△IBJ=9：100=9：（9+42+x），
得：x=49．
∵S_△PFJ=49，S_CNPJ=70，
∴FJ：JC=7：5，FJ：FC=7：12，
∴S_△PFJ：S_△EFC=49：144=49：（49+70+y）
得：y=25．
由四边形MBFP，三角形PFJ，四边形PJCN的面积可以得到：BF：FJ：JC=3：7：5，
∴FJ：BC=7：15．
∵△PFJ∽△ABC，
∴S_△PFJ：S_△ABC=(

7

15

)2=

49

225

，
而S_△PFJ=49，
∴S_?AEPI=42．
故答案为：42．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据平行判定三角形相似，运用相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算求出平行四边形AEPI的面积．