Question

4．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点，求证：四边形BCDE是菱形．

Answer 1

分析 由题意易证得DE=BE，继而证得△EBD≌△CBD，则可证得CB=CD=BE=DE，即证四边形BCDE是菱形．

解答 证明：∵AD⊥BD，E是AB的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠CDB}\\{BD=BD}\\{∠EDB=∠CBD}\end{array}\right.$
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．

点评 此题主要考查菱形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及平行线的性质．注意掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．