Question

12．如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N．
（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；
（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；
（3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可证明．
（2）有最小值．设AE=x，DH=y，则AH=1-y，BE=1-x，由△ECB∽△HEA，推出$\frac{BC}{AE}$=$\frac{BE}{AH}$，可得$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{1-y}$，推出y=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由a=1＞0，y有最小值，最小值为$\frac{3}{4}$．
（3）只要证明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=$\sqrt{2}$a，可得a+$\sqrt{2}$a=1，求出a即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠DCB，
∴∠DCF=∠BCE，
∴△DCF≌△BCE，
∴∠CDF=∠B=90°，
∴∠CDF+∠CDA=180°，
∴点A、D、F在同一条直线上．

（2）解：有最小值．
理由：设AE=x，DH=y，则AH=1-y，BE=1-x，
∵四边形CFGE是矩形，
∴∠CEG=90°，
∴∠CEB+∠AEH=90°
CEB+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠AEH，
∵∠B=∠EAH=90°，
∴△ECB∽△HEA，
∴$\frac{BC}{AE}$=$\frac{BE}{AH}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{1-y}$，
∴y=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵a=1＞0，
∴y有最小值，最小值为$\frac{3}{4}$．
∴DH的最小值为$\frac{3}{4}$．

（3）解：∵四边形CFGE是矩形，CF=CE，
∴四边形CFGE是正方形，
∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，
∵NM∥EF，
∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，
∴∠GMN=∠GNM，
∴GN=GM，
∴FN=EM，
∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，
∴△CFN≌△CEM，
∴∠FCN=∠ECM，∵∠MCN=45°，
∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，
在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=$\sqrt{2}$a，
∴a+$\sqrt{2}$a=1，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=AB-BE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．