Question

2．如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x²-5x+5=0的两根，求BE的长；
（3）若MA=6$\sqrt{2}$，sin∠AMF=$\frac{1}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OE交BC于T．想办法证明OE⊥BC即可；
（2）由ED、EA的长是一元二次方程x²-5x+5=0的两根，可得ED•EA=5，由△BED∽△AEB，可得$\frac{BE}{AE}$=$\frac{DE}{EB}$，推出BE²=DE•EA=5，即可解决问题；
（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OA、OE交BC于T．
∵AM是切线，
∴∠OAM=90°，
∴∠PAD+∠OAE=90°，
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EDT+∠OEA=90°，
∴∠DTE=90°，
∴OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$．

（2）∵ED、EA的长是一元二次方程x²-5x+5=0的两根，
∴ED•EA=5，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{EC}$，
∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{DE}{EB}$，
∴BE²=DE•EA=5，
∴BE=$\sqrt{5}$．

（3）作AH⊥OM于H．
在Rt△AMO中，∵AM=6$\sqrt{2}$，sin∠M=$\frac{1}{3}$=$\frac{OA}{OM}$，设OA=m，OM=3m，
∴9m²-m²=72，
∴m=3，
∴OA=3，OM=9，
易知∠OAH=∠M，
∴tan∠OAD=$\frac{OH}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
∴OH=1，AH=2$\sqrt{2}$．BH=2，
∴AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2）^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．