Question

17．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD=∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为$\widehat{AB}$中点，BD=6，$sin∠BED=\frac{3}{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°．得出∠ABC=90°，即可得出结论．
（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD=∠BED，得出$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．求出直径AB=10．证出AE=BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE=45°，由三角函数即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠A=∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD=90°．
∴∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：连接AE．如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°．
∵∠BAD=∠BED，
∴$sin∠BAD=sin∠BED=\frac{3}{5}$． 
∴在Rt△ABD中，$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．
∵BD=6，
∴AB=10．
∵E为$\widehat{AB}$ 中点，
∴AE=BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE=45°．
∴$BE=AB•sin∠BAE=10×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=5\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定，由三角函数求出直径是解决问题（2）的关键．