题目内容
9．
如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．
（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．
（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．
（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．
分析 （1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；
（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；
（3）当$0＜t≤\frac{3}{5}$时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．
（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．
解答 解：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，
∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．
∴DQ=3
∴2t=3．
∴t=$\frac{3}{2}$；
（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，
∴PD=DQ，
当0＜t＜$\frac{3}{2}$时，
此时，PD=t，DQ=2t
∴t=2t
∴t=0（不合题意，舍去），
当$\frac{3}{2}$≤t＜3时，
此时，PD=t，DQ=6-2t
∴t=6-2t，
解得t=2；
综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；
（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t
当点M在BC边上时，
∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t，BQ=3-2t
∴3t=3-2t
∴解得t=$\frac{3}{5}$
如图①，当$0＜t≤\frac{3}{5}$时，
S△PNQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PQ2=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$t2；
∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$t2，
如图②，当$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$时，
设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，
∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3-2t，
∴ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3，
∵△EMF是等边三角形，
∴S△EMF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ME2=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5t-3）2
$S={S_{菱形PQMN}}-{S_{△MEF}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}{t^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（5t-3）^2}$．$S=-\frac{{7\sqrt{3}}}{4}{t^2}+\frac{{15\sqrt{3}}}{2}t-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$；
（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，
此时，$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，
t=1或$t=\frac{15}{7}$．
点评 本题考查等边三角形与菱形的性质，涉及到等边三角形的性质与面积公式，平行四边形和菱形的性质与面积公式，解方程等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活结合．
如图是二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列说法错误的是（ ）| A． | 函数y的最大值是4 | B． | 函效的图象关于直线x=-1对称 | ||
| C． | 当x＜-1时，y随x的增大而增大 | D． | 当-4＜x＜1时，函数值y＞0 |
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD=∠A．