Question

6．如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OB，由等腰三角形的性质和圆周角定理证出∠CDB+∠C=90°，再由已知条件得出∠OBD+∠ABD=90°，得出∠OBA=90°即可；
（2）设半径为r，则OA=x+2，在Rt△AOB中，根据勾股定理得出方程，解方程求出半径，由三角函数求出得出tanA=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{4}$，证明△ADB∽△ACB，得出$\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设DB=x，则BC=2x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连结OB，如图所示：
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠CDB+∠C=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴∠OBD+∠ABD=90°，
即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设半径为r，则OA=x+2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：x²+4²=（x+2）²，
解得：r=3，
∴tanA=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，
∴△ADB∽△ACB，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
设DB=x，则BC=2x，
∵CD=6，
∴由勾股定理得：x²+（2x）²=6²，
解得：x=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
即DB的长为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．