Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，以边BC为直径的⊙O与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作⊙O的切线DE，使DE⊥AC于E．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，连接FH，若BC=4，求FH的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．由切线的性质可知OD⊥DE，接下来可证明OD∥AC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明∠OBD=∠ODB，依据等量代换可得到∠A=∠OBD，于是可证明AC=BC，然后结合已知条件可证明△ABC是等边三角形．
（2）连接BF，作FG⊥BC于点G，连接DC．由直径所对的圆周角是90°证明BF⊥AC，DC⊥AB，由等腰三角形三线合一的性质可得到AD=BD=AF=FC=2，然后再在△FCG中，依据特殊锐角三角函数值可求得FG、CG的长，接下来证明DE∥BF，依据平行线分线段成比例定理可得到AE=EF=1，于是在△EHC中依据特殊锐角三角函数值可求得CE=3，CH=1.5，最后在△HFG中，依据勾股定理可求得HF的长．

解答 解：（1）证明：如图1所示：连接OD．

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC．
∴∠A=∠ODB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠A=∠OBD．
∴AC=BC．
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：连接BF，作FG⊥BC于点G，连接DC．

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BFC=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=2．
同理；BD=AD=2．
∵∠C=60°，∠FGC=90°，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FC=$\sqrt{3}$，CG=$\frac{1}{2}$FC=1．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF．
∴AE=EF=1．
∴CE=3，CH=1.5．
∴HG=$\frac{1}{2}$．
在Rt△FGH中，由勾股定理可得FH=$\sqrt{F{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理的应用，求得FG和HG的长是解题的关键．