Question

15．平行四边形ABCD中，BC=4，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，若△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是$\frac{17\sqrt{3}}{4}$，则AB=8+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可画出草图解题，由折叠特点可知△AFE≌△ABE，则∠F=∠B=60°，设CD与AF相交于点P，根据平行四边形的性质推出△CFP为等边三角形，△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是△AEF与△CFP的面积之差，得出方程，解方程求出x，即可得出AB．

解答 解：根据沿直线折叠特点，△AFE≌△ABE，
∴∠F=∠B=60°，
在△ABE中，∠B=60°，设AB=2x，则AE=$\sqrt{3}$x，BE=x，
S_△AFE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
CF=EF-EC=x-（BC-x）=2x-4，
∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠PCF=∠B=60°=∠F，
∴△CFP为等边三角形，底边CF=2x-4，高为$\sqrt{3}$（x-2），
∴S_△CFP=$\sqrt{3}$（x-2）²，
∴S_重叠=S_△AFE-S_△CFP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\sqrt{3}$（x-2）²=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
解得：x=$\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$，或x=$\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=8$+3\sqrt{2}$，或AB=8-3$\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
∴AB=8+3$\sqrt{2}$；
故答案为：8+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．