Question

3．若关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1，a、b、c是常数）与x轴交于两个不同的点A（c，0），B（x₀，0），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点，且当0＜x＜c时，总有y＞0．
（1）求常数b的取值范围；
（2）当x₁=c时，对于任意给定的常数a、b、c，若点Q（$\frac{1}{a}$+c，y₀）在对应的二次函数的图象上，过点Q作QK⊥x轴于点K，试问△AQK与△BPO全等吗？证明你的结论；
（3）当x＞0时，求证：ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据当0＜x＜c时，总有y＞0，建立不等式求出b的范围；
（2）当x₁=c时，对于任意给定的常数a、b、c，若点Q（$\frac{1}{a}$+c，y₀）在对应的二次函数的图象上，直接确定出AK=BO，QK=PO，即可；
（3）有条件直接得到0＜$\frac{x}{x+1}$＜1，进而当自变量取时$\frac{x}{x+1}$，必有函数值y＞0，化简即可．

解答 解：（1）由题意可得c、x₀是方程ax²+bx+c=0的两个根，
所以${x_0}\cdotc=\frac{c}{a}$，所以${x_0}=\frac{1}{a}$．
因为当0＜x＜c时，总有y＞0，所以根据图象必有${x_0}=\frac{1}{a}$＞c＞0，
所以0＜ac＜1．
又因为ac²+bc+c=0（a＞0，c＞0），
所以b=-ac-1．
常数b的取值范围为-2＜b＜-1．
（2）△AQK与△BPO全等．AK=BO，QK=PO，

方法一：因为ac²+bc+c=0，b=-ac-1，
所以${y_0}=a{（\frac{1}{a}+c）^2}+b（\frac{1}{a}+c）+c=\frac{1+b}{a}+2c=-c+2c=c$．
从而$\left\{\begin{array}{l}AK=BO\\ QK=PO\\∠POB=∠QAK={90°}\end{array}\right.⇒$△AQK≌△BPO．
方法二：根据对称性可得：点P与点Q关于此抛物线的对称轴对称，所以y₀=c．
从而$\left\{\begin{array}{l}AK=BO\\ QK=PO\\∠POB=∠QAK={90°}\end{array}\right.⇒$△AQK≌△BPO．
（3）∵当0＜x＜1时，总有y＞0．显然0＜$\frac{x}{x+1}$＜1，
∴当自变量取时$\frac{x}{x+1}$，必有函数值y＞0．      即有0＜$a{（\frac{x}{x+1}）^2}+b\frac{x}{x+1}+c$，
所以0＜$\frac{ax}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}=\frac{a}{{x+\frac{1}{x}+2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$＜$\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$．
故当x＞0时，ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定，解不等式，解本题的关键是判断出△AQK≌△BPO，和解不等式．