Question

19．如图，过?ABCD的顶点A作直线l．
（1）若l交BC边于点E，BB₁⊥AE，CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，B₁，C₁，D₁为垂足，求证：BB₁+CC₁=DD₁
（2）若l交CD于点E，BB₁⊥AE，CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，B₁，C₁，D₁为垂足，试探究BB₁，CC₁，DD₁之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BD，过C作CF⊥DD₁于F，得到四边形CFD₁C₁是矩形，根据矩形的性质得到FD₁=CC₁，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得到∠ABD=∠CDB，∠B₁BD=∠D₁DF，等量代换得到∠ABB₁=∠CDF，根据全等三角形的性质得到BB₁=DF，于是得到结论
（2）方法与（1）相同．

解答 解：（1）如图1，连接BD，过C作CF⊥DD₁于F，
∵CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴四边形CFD₁C₁是矩形，
∴FD₁=CC₁，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BB₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴BB₁∥DD₁，
∴∠B₁BD=∠D₁DF，
∴∠ABB₁=∠CDF，
在△ABB₁与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{B}_{1}=∠CDF}\\{∠A{B}_{1}B=∠CFD=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABB₁≌△CDF，
∴BB₁=DF，
∵DD₁=DF+FD₁，
∴BB₁+CC₁=DD₁；

（2）BB₁=CC₁+DD₁．
如图2，连接BD，过C作CF⊥DD₁交DD₁的延长线于F，
∵CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴四边形CFD₁C₁是矩形，
∴FD₁=CC₁，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BB₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴BB₁∥DD₁，
∴∠B₁BD=∠D₁DF，
∴∠ABB₁=∠CDF，
在△ABB₁与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{B}_{1}=∠CDF}\\{∠A{B}_{1}B=∠CFD=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABB₁≌△CDF，
∴BB₁=DF，
∵DF=DD₁+FD₁，
∴BB₁=CC₁+DD₁．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判断和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．