Question

14．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图2所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（0≤t≤4）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．
根据图象，回答下列问题：
（1）求当睡眠时间不少于4小时（4≤t≤6）时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式；
（2）如果某人睡眠了t（1＜t＜3）小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据图象经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）首先利用待定系数法确定反比例函数的解析式，根据“某人睡眠了t（1＜t＜3）小时后，再连续睡眠了3小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3”列方程求解．

解答 解：（1）根据题意，设当4≤t≤6时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式为：y=kt+b（k≠0）．
∵它经过点（4，2）和（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}4k+b=2\\ 6k+b=0\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=6\end{array}\right.$．…（2分）
∴当睡眠时间不少于4小时，眼疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式是y=-t+6．（1分）

（2）当睡眠时间不超过4小时（0≤t≤4）时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数，
设这个反比例函数为：$y=\frac{k_1}{t}（{k_1}≠0）$，
∵它经过点（4，2），
∴$y=\frac{8}{t}$，
∵某人睡眠了t（1＜t＜3）小时后，再连续睡眠了3小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3，
∴$\frac{8}{t}-[{-（t+3）+6}]=3$，
整理得：t²-6t+8=0．
解得：t₁=2，t₂=4，
经检验：t₁=2，t₂=4是原方程的解，t₂=4不符合题意舍去，
∴t的值是2．

点评 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是仔细读题，并从中整理出解决问题的函数模型，难度不大．