Question

4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ABC=60°，AC=5，过点A作⊙O的切线交直径CD的延长线于点P．
（1）求∠ACP的度数；
（2）求PD的长；
（3）求阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADC中，求出∠ADC即可解决问题．
（2）首先证明PA=AC，在Rt△PAO中，根据AO=PA•tan30°=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，OP=2OA=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$即可解决问题．
（3）根据S_阴=S_扇形OAC-S_△AOC计算即可．

解答 解：（1）如图连结OA、AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACP=30°，

（2）∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠P=90°-60°=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC=5，
在Rt△PAO中，AO=PA•tan30°=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，OP=2OA=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴PD=OP=OD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

（3）S_阴=S_扇形OAC-S_△AOC=$\frac{120•π•（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•5•$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{25π}{9}$-$\frac{25\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查切线的性质、圆周角定理、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．