Question

如图，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：首先连接AC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．然后根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，继而可证得△A₁IE≌△CGF，即可证得EI=FG．

解答：证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，AD=BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE与△CGF中，

∠A1=∠C  ∠5=∠6  A1E=CF

，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．

点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．