题目内容
如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=3DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．（1）求
| EF |
| QG |
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）先由平行线的性质得∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．△EPD∽△EQB，再有相似三角形的性质得
=
，可得
=
．因为EF∥BC，所以△PEF∽△PQG，即得
=
=
；
（2）不会发生变化．由AD∥BC，得
=
，可得BC=QG，由△PEF∽△PQG，得S四边形EFGQ=
S△PQG．求得△PQG的面积即可得四边形EFGQ的面积S．
| DP |
| BQ |
| PE |
| QE |
| PE |
| PQ |
| 1 |
| 4 |
| EF |
| QG |
| PE |
| PQ |
| 1 |
| 4 |
（2）不会发生变化．由AD∥BC，得
| BQ |
| PD |
| CG |
| PD |
| 15 |
| 16 |
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．
∴△EPD∽△EQB．
∴
=
．
∵BQ=3DP，
∴
=
．
∴
=
．
∵EF∥BC，
∴∠PEF=∠PQG，∠PFE=∠G．
∴△PEF∽△PQG，
∴
=
=
；
（2）不会发生变化．
∵AD∥BC，
∴
=
．
∴BQ=CG．
∴BC=QG．
∵△PEF∽△PQG，
∴S四边形EFGQ=
S△PQG．
∴S△PQG=
QG×AB=
BC×AB=
×13×12=78．
∴S四边形EFGQ=
×78=73.125．
∴∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．
∴△EPD∽△EQB．
∴
| DP |
| BQ |
| PE |
| QE |
∵BQ=3DP，
∴
| PE |
| QE |
| 1 |
| 3 |
∴
| PE |
| PQ |
| 1 |
| 4 |
∵EF∥BC，
∴∠PEF=∠PQG，∠PFE=∠G．
∴△PEF∽△PQG，
∴
| EF |
| QG |
| PE |
| PQ |
| 1 |
| 4 |
（2）不会发生变化．
∵AD∥BC，
∴
| BQ |
| PD |
| CG |
| PD |
∴BQ=CG．
∴BC=QG．
∵△PEF∽△PQG，
∴S四边形EFGQ=
| 15 |
| 16 |
∴S△PQG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S四边形EFGQ=
| 15 |
| 16 |
点评：本题主要考查了相似三角形的综合题，用到相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形面积的求法，关键是求得△PEF∽△PQG．
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