Question

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，
（1）求AE的长．
（2）连接BE，BE是∠ABC的平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由矩形ABCD中，EF⊥EC，且EF=EC，易证得△AEF≌△DCE，则可得AE=CD，然后设AE=CD=xcm，则AD=AE+DE=4+x（cm），由矩形ABCD的周长为32cm，可得2（x+4+x）=32，解此方程组即可求得答案；
（2）由AE=CD=AB，可得△ABE是等腰直角三角形，即可求得∠ABE=∠CBE=45°．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，

∠A=∠D ∠AFE=∠DEC EF=CE

，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD，
设AE=CD=xcm，则AD=AE+DE=4+x（cm），
∵矩形ABCD的周长为32cm，
∴2（x+4+x）=32，
解得：x=6，
∴AE=6cm；

（2）BE是∠ABC的平分线．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠ABC=90°，
∵AE=CD，
∴AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠CBE，
即BE是∠ABC的平分线．

点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．