Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用配方法求出顶点坐标，当y=0，进而求出x的值，得出A，B点坐标；
（2）利用S_△BCM=S_BDM+S_OCMD-S_△OBC，分别表示出两三角形的面积，进而求出即可；
（3）分别利用①当∠BMC=90°时，②当∠BCM=90°时，③当∠CBM=90°时，分别求出即可．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m．
∴M（1，-4m）．
当y=0，mx²-2mx-3m=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；       
           
（2）当x=0时，y=-3m，
∴C（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

×2×|-3m|=6m．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=2，MD=4m．
∴S_△BCM=S_BDM+S_OCMD-S_△OBC=

1

2

×2×4m+

1

2

(3m+4m)×1-

1

2

×3×3m=3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2．              

（3）过点C作CN⊥DM于点N，则CM²=m²+1，BC²=9m²+9，BM²=16m²+4．
①当∠BMC=90°时，CM²+BM²=BC²，即1+m²+4+16m²=9m²+9，
解得：m1=

2

2

，m2=-

2

2

（舍去）．
②当∠BCM=90°时，BC²+CM²=BM²，即9m²+9+m²+1=16m²+4．
解得：m₁=1，m₂=-1（舍去）．
③当∠CBM=90°时，BC²+BM²=CM²，即9m²+9+16m²+4=m²+1．
此方程无解．
综上所述，存在m=

2

2

或m=1，存在使△BCM为直角三角形的抛物线．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及勾股定理的应用和三角形面积求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．