Question

12．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b²；
②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-2，x₂=3；
③3a+c=0；
④当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．

解答 解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3，故②错误；

∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，故③正确；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，y＞0，故④正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①③④⑤，共4个．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．