Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：

4a-2b+c=0 9a-3b+c=0 c=0

，
解得：

a=1 b=2 c=0

，
所以函数解析式为：y=x²+2x；
（2）∵AO为平行四边形的一边，
∴DE∥AO，DE=AO，
∵A（-2，0），
∴DE=AO=2，
∵四边形AODE是平行四边形，
∴D在对称轴直线x=-1右侧，
∴D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，
∴D的坐标为（1，3）；
（3）∵点B（-3，3），C（-1，-1），
∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（2-3t，t），
代入y=x²-2x得（2-3t）²-2（2-3t）=t，
解得t₁=0（舍），t₂=

7

9

，
∴P（

1

3

，

7

9

）；
②，若△PMA∽△BOC，
设PM=3t，则AM=t，点P（2-t，3t），代入y=x²-2x得（2-t）²-2（2-t）=3t，
解得t₁=0（舍），t₂=5，
∴P（3，15）
综上所述，点P的坐标为（

1

3

，

7

9

）或（3，15）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．