Question

5．如图，AB为半圆O的直径，M为半圆内的一点，直线AM交半圆O于点C，直线BM交半圆O于点D，直线DC与直线AB交于点P，N为直径AB上的一点，且满足ON•OP=OB²，求证：MN⊥AB．

Answer 1

分析 连接OD，OC，ND，NC，DA由ON•OP=OB²，易证△ODN∽△OPD，利用对应角相等可得O，D，C，N四点共圆；由BD平分角∠CDN及M为△DCN的内心，得出M，N，A，D四点共圆，再由AB为半圆O的直径，得出∠ADB=90°，从而得出∠MNA=∠ADM=90°，即可得出MN⊥AB．

解答 证明：如图，连接OD，OC，ND，NC，DA

∵OB²=ON•OP=OD²
∴$\frac{ON}{OD}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠DON=∠POD，
∴△ODN∽△OPD
∴∠DNO=∠ODC=∠OCD
∴O，D，C，N四点共圆；
∴∠CDN=∠CON=2∠CAB=2∠CDB
∴BD平分角∠CDN
又∵∠DCN=∠DOA=2∠DBA=2∠DCA
∴AC平分角∠DCN
∴M为△DCN的内心
∴$∠MND=\frac{1}{2}∠DNC=\frac{1}{2}∠DOC=∠DAC$
∴M，N，A，D四点共圆
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠MNA=∠ADM=90°，
∴MN⊥AB．

点评 本题主要考查了四点共圆，涉及三角形相似的判定与性质，角平分线，四点共圆的判定及三角形内心，解题的关键是正确作出辅助线，得出O，D，C，N四点共圆．