Question

5．如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADE交AB于点G，GF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：△AGD≌△FGD；
（2）若AB=8，BC=6，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和已知条件得出∠A=∠GFD，∠ADG=∠FDG，由AAS即可证明△AGD≌△FGD；
（2）由勾股定理求出BD，由△AGD≌△FGD，得出对应边相等AD=DF=6，FG=AG，求出BF，设AG=FG=x，则BG=8-x，在Rt△BFG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，GF⊥BD，
∴∠A=90°，∠GFD=90°，
∴∠A=∠GFD，
∵DG平分∠ADB，
∴∠ADG=∠FDG，
在△AGD和△FGD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠GFD}&{\;}\\{∠ADG=∠FDG}&{\;}\\{DG=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△FGD（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=6，
根据勾股定理得：BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵△AGD≌△FGD，
∴AD=DF=6，FG=AG，
∴BF=BD-DF=4，
设AG=FG=x，则BG=8-x，
在Rt△BFG中，FG²+BF²=BG²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AG=3．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．